इकाई अंक
 (Unit Digit)

नियमः-

1) गुणनफल का इकाई अंक:- किन्ही संख्याओं के गुणनफल का इकाई अंक उन संख्याओं के इकाई अंको के गुणनफल से प्राप्त होगा ।

जैसे- (386×97×28) में इकाई अंक

6×7×8

42×8

16  इकाई अंक 6 होगा ।

2) घात वाली संख्याओं का इकाई अंक:- घात वाली संख्याओं का इकाई अंक निकालने के लिए हम सबसे पहले जिस संख्या में घात है, उसका इकाई अंक ही देखेंगे, और बाकि शेष अंको को छोड़कर हल करेंगे, और उसी इकाई अंक के अनुसार निम्नलिखित नियम में से उपयुक्त नियम का उपयोग करेंगे  । जैसे :- 54623¹⁵ में हम इकाई अंक अर्थात 3 के नियम का उपयोग करेंगे ।

नियमों का अध्ययन करके हल करने का प्रयत्न करें –

 उदाहरण

उदाहरण(1):  564 × 565 × 246 × 9894 × 2654 × 137 के गुणनफल में इकाई अंक क्या होगा ?
( unit digit in the product – )
हल:-        = 564 × 565 × 246 × 9894  × 2654 × 137
= 4 × 5 × 6 × 4 × 4 × 7
= 20 × 24 × 28
= 0  ( इकाई अंक शून्य होगा )                                                      उत्तर

उदाहरण(2):   631 × 635 × 753 × 859 के गुणनफल में इकाई अंक क्या होगा ?
( unit digit in the product – )
हल:-        = 631 × 635 × 753 × 859
= 1 × 5 ×3 × 9
= 5 × 27  = 35 अतःइकाई अंक 5 होगा ।                                      उत्तर

उदाहरण(3):     801× 54 – 48 × 92 में इकाई अंक क्या होगा ( unit digit ) ?
हल:-        = 801× 54 – 48 × 92
= 4 – 16
= 4 – 6  ≈ 14 – 6 = 8 अतःइकाई अंक 8 होगा ।                           उत्तर

उदाहरण(4):     निम्न का इकाई अंक ज्ञात करें ।
Find the unit digit of the following.
(i) (1010)¹⁷ (ii) (341)²⁹ (iii) (635)¹³² (iv) (216)⁹⁹
हल:- यदि किसी संख्या के इकाई में 0,1,5 या 6 तब इकाई अंक में कोई परिवर्तन नहीं होता है, क्यों कि इन संख्याओं को अपने ही से कितने बार भी गुणा करें इकाई में वही अंक ही प्राप्त होता है ।
अतः         (i) (1010)¹⁷ इकाई अंक 0 होगा ।                                                  उत्तर
               (ii) (341)²⁹ इकाई अंक 1 होगा ।                                                   उत्तर
               (iii) (635)¹³² इकाई अंक 5  होगा ।                                                उत्तर
(iv) (216)⁹⁹ इकाई अंक 6 होगा ।                                                  उत्तर

उदाहरण(5):    निम्न का इकाई अंक ज्ञात करें ।
Find the unit digit of the following.
(i) (174)¹²⁶ (ii) (174)²²⁹ (iii) (119)¹¹⁷ (iv) (119)¹¹⁴
हल:- यदि किसी संख्या के इकाई में 4 है, तब उस संख्या के घात में सम संख्या होने पर 6 और विषम संख्या होने पर इकाई अंक 4 प्राप्त होगा ।
अतः         (i) (174)¹²⁶ इकाई अंक 6 होगा ।                                                   उत्तर
               (ii) (174)²²⁹ इकाई अंक 4 होगा ।                                                  उत्तर
इसी  प्रकार यदि किसी संख्या के इकाई में 9 है, तब उस संख्या के घात में सम संख्या होने पर 1 और विषम संख्या होने पर इकाई अंक 9 प्राप्त होगा ।
               (iii) (119)¹¹⁷ इकाई अंक 9  होगा ।                                                उत्तर
(iv) (119)¹¹⁴ इकाई अंक 1 होगा ।                                                उत्तर

उदाहरण(6):    निम्न का इकाई अंक ज्ञात करें ।
Find the unit digit of the following.
(i) (13)¹⁷ (ii) (27)²⁶ (iii) (17)¹⁰⁰ (iv) (23)¹⁶
हल:- यदि किसी संख्या के इकाई में 3 या 7 हो तब पहले उसके घात को 4 से भाग देंगे, उसके बाद जो शेषफल प्राप्त होगा वही संख्या का नया घात होगा ।
(i) (13)¹⁷     →17 ÷ 4 = शेषफल 1, अब 13¹  ≈  3¹ = 3 इकाई अंक
(ii) (27)²⁶          →26 ÷ 4 = शेषफल 2, अब 27¹  ≈  7² = 49 = 9 इकाई अंक
(iii) (17)¹⁰⁰       →100 ÷ 4 = शेषफल 0, अब 17⁰  ≈  7⁰ = 1 इकाई अंक
(iv) (23)¹⁶         →16 ÷ 4 = शेषफल 0, अब 23⁰  ≈  3⁰ = 1 इकाई अंक

उदाहरण(7):    निम्न का इकाई अंक ज्ञात करें ।
Find the unit digit of the following.
(i) (12)¹³ (ii) (58)³⁴ (iii) (78)⁶⁴
हल:- यदि किसी संख्या के घात में 2 या 8 हो तब पहले उसके घात को 4 से भाग देंगे, उसके बाद जो शेषफल प्राप्त होगा वह संख्या का नया घात होगा, और इस  नई घात वाली संख्या का 6 से गुणा करेंगे ।
(i) (12)¹³  →13 ÷ 4= शेषफल 1,अब 12¹  ≈  2¹ = 2, 6 × 2 = 12 = 2 इकाई अंक
               (ii) (58)³⁴ →34 ÷ 4= शेषफल 2,अब 58²  ≈8² = 64, 6×4 = 24 = 4 इकाई अंक
(iii) (78)⁶⁴ →64 ÷ 4= शेषफल 0,अब 78⁰  ≈8⁰ = 1, 6 × 1 = 6 इकाई अंक

उदाहरण(8):  (42)²⁴  × (48)⁸⁴  का इकाई अंक क्या होगा ?
What will be the unit digit ?
हल:- यहाँ पर  → 24 ÷ 4 = शेषफल 0, ≈ = 1, इकाई अंक = 6 × 1 = 6
               → 84 ÷ 4 = शेषफल 0, ≈ = 1, इकाई अंक = 6 × 1 = 6
अतः  ×  ≈ 6 × 6 = 36 = इकाई अंक 6  होगा ।                               उत्तर